从非欧几里得几何谈数学前提 - 辕门射虎


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#1

发表于 2015-3-13 21:14 资料短消息看全部作者

漏洞太多懒得一一说明, 只说最重要的一点. 现在我们所谓的"欧式几何", 根本不是欧几里得五大公理就能支撑的. 把平面几何说成"欧式几何", 更多是一种尊重和纪念, 如果真把五大公理和平面几何划等号, 那就是滑天下之大稽了.

欧几里得本人提出的五大公理, 只能允许可数点几何. 然而, 不论是平面还是直线, 只要有连续性的都有不可数点. 所以欧几里得的五大公理根本不够, 这一点 Descartes 在研究解析几何时就已经提过了(笛卡尔比洛巴切夫斯基大概早 200 年朝上). 现在公认的平面几何完整公理, 根本不是欧几里得的五大公理, 而是一直到 1899 年才被 Hilbert 敲定的 20 条 Hilbert Axioms (如果有内行认为 Tarski 公理比 Hilbert 公理更合适, 我们可以专开一贴讨论).

P.S. 黎曼几何包含了罗氏集合, 而且黎曼几何后面那个"(球面)"可谓不知所云.
P.P.S. 建议楼主还是把基本功先练扎实了, 再出来秀自己的观点. 数学不似人文, 多拉几个帮架的黑的就能说成白的, 秀数学是靠实力的.

[ 本帖最后由颖颖于 2015-3-13 21:42 编辑 ]

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#2

发表于 2015-3-13 21:23 资料短消息看全部作者

数学有很多分支，各分支内部所有的命题都构成了一个严密的公理体系。但是各分支之间有出入。所以在讨论非默认前提的数学分支时需要加以说明。

-------------------

400 年前, 在笛卡尔时代提出这个观点, 或许还是个人才.

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#3

发表于 2015-3-13 21:44 资料短消息看全部作者

回复 #5 杏花疏影的帖子

这个最多证明你们比我会下套而已

P.S. 再次展现你的歪楼功夫何等了得, 直接就不聊几何了.

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#4

发表于 2015-3-13 21:55 资料短消息看全部作者

回复 #7 杏花疏影的帖子

有本事就聊几何, 没本事就一边呆着去.

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#5

发表于 2015-3-13 23:03 资料短消息看全部作者

回复 #10 武骧金星的帖子

我报复至少还是有干货的

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#6

发表于 2015-3-13 23:07 资料短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由 武骧金星 于 2015-3-13 22:10 发表
就比如说这个帖子吧，公主你既然知道现代平面几何不能用欧式公里来阐述了，那么为什么不深入讲讲为什么呢？

纠正一点, 不是现代平面几何不能用欧式公理来阐述了, 而是平面几何一直以来都不能用欧式公理来阐述, 只不过其背后的逻辑漏洞是从 Descartes 到 Hilbert (或者说 Tarski 也可以) 一步步想明白的而已.

如果谁想跟我品味 Hilbert 的平面几何公理和 Tarski 之间的差别, 我倒可以认真地回复一下. 至于说楼主那种水平的, 连欧式几何和欧几里得公理几何之间的差别都不知道, 除了拍砖真的没有别的可说了.

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#7

发表于 2015-3-13 23:10 资料短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由 武骧金星 于 2015-3-13 23:05 发表
有干货发啊……

请公主尽可能说说：（1）欧式五公里为啥“只能允许可数点几何”？推广到不可数点有什么问题？（2）希尔伯特定理为了解决不可数点的处理，到底与欧式公里有什么核心区别？

我就试着做个好的 ...

1, 因为欧式公理是上的所有元素都是 constructable, constructable 集合的无穷大量级最大就是可数级.
2, 解决不可数点是笛卡儿时代的事情, 当然笛卡尔本身不知道, 因为他不知道实数不可数. 但他把实数集和线的概念联系起来, 算是间接地解决了这个问题吧.

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#8

发表于 2015-3-13 23:16 资料短消息看全部作者

回复 #16 ptcn 的帖子

兰州这种水平的, 引用WIKI的内容都已经 over the top 了. 专不专业也是双方的事情, 如果轩辕有在 arxiv.org 上灌水的（除我之外），跟他们讨论我也肯定不会引用 wiki 上的内容．

至于说概念嘛, 还是那句话... 笛卡尔将直线和实数集建立联系, 后来人发现实数集原来不可数, 因此笛卡尔解决的其实是一个不可数问题... 但不可数这个概念连笛卡尔本人都不知道啊! 概念的确害人.

[ 本帖最后由颖颖于 2015-3-13 23:29 编辑 ]

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#9

发表于 2015-3-13 23:28 资料短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由 武骧金星 于 2015-3-13 23:15 发表
能请ptcn多说两句么？波粒二象性有什么问题？

公主那边也是。能请你用简单一点的语言么……我也算受过高等教育了，你能用我可以脑补的方案来解释问题么……

不同级别的无穷大, 听说过么? 没有的话，这里有个链接．http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinal_number

如果需要补习这个，可能就真的没法＂简单一点＂了．　

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#10

发表于 2015-3-14 00:35 资料短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由 武骧金星 于 2015-3-13 23:35 发表
这样就行了，有链接我可以自己去看。

不过公主啊，我表示你喜欢用专有名词这一点最好还是改改吧。我能理解是因为我和数学专业的人聊过许多，而我相信很多坛友会觉得你在装13的——甚或会觉得你这人水平差，只 ...

反正我也看不起那帮宵小

P.S. 差点忘记，Baire category 定理也需要 http://en.m.wikipedia.org/wiki/Baire_category_theorem

[ 本帖最后由颖颖于 2015-3-14 00:38 编辑 ]

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#11

发表于 2015-3-14 01:17 资料短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由 武骧金星 于 2015-3-14 01:03 发表
嘛，思维方式不同，不代表有高下之分，公主你着相了。可以就事论事，不可因言废人。

话说我把第一个维基看了一下，知道不同的无穷大集合可以基数不同了……但是仍旧不明白这和欧氏公里有啥关系呀？

还是只说正题好了. 欧式的五大公理为:

"Let the following be postulated":
1."To draw a straight line from any point to any point."
2."To produce [extend] a finite straight line continuously in a straight line."
3."To describe a circle with any centre and distance [radius]."
4."That all right angles are equal to one another."
5.The parallel postulate: "That, if a straight line falling on two straight lines make the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles."

由于每一条公理，都能用规尺做图方法画出来，靠它所产生的点，其解析都是代数小数。这是因为规尺做图的每一步，和代数概念中的域扩张有关，而域扩张的方法就是靠给基础域（其实就是有理数 Q）不停添加在该域上不可分解的多项式根（但多项式系数要来自于基本域），这也是为什么规尺做图点和代数小数能扯上关系。代数小数之外的点，也就是超越小数（例如，数字 pi），仅靠五大公理连它们是否存在都证明不了，更别说证明包含它的定理了。代数小数集的基数和自然数集一样，都严格小于实数集的基数。

总结一下：令">"为集合包含，实数（已知不可数，基数大于和整数基数的集合都叫不可数）> 代数小数（已知可数，和整数一个基数的无穷大都叫可数）> 靠规尺做图能作出来的点 > 靠五大公理能证明存在的点。

P.S. 由于靠五大公理能证明存在的点 > 有理数，而古希腊人曾固执地认为有理数 = 实数，这是为什么欧式公理能存在这么久，也没有人对他提出质疑。

[ 本帖最后由颖颖于 2015-3-14 01:34 编辑 ]

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#12

发表于 2015-3-14 01:18 资料短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由 cmy77 于 2015-3-14 01:05 发表
第二. 一条有限直线可以继续延长

一条有限直线应该改为线段吧。

估计是翻译问题

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#13

发表于 2015-3-14 01:56 资料短消息看全部作者

回复 #29 武骧金星的帖子

哦，也可能中文正确叫法是超越数/代数数吧。

希尔伯特公理多了去了，一共 20 个，可以先看看 wiki 吧。。。

http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_axioms

--------------------------------

现在欧式几何的公理体系，有 N 多套都是比较合理的，但推广比较成功的大概就是 Hilbert 和 Tarski 的而已。

主要有几点比较讲究的，

1，Hilbert 和 Tarski 是针对不同的逻辑系统定的公理。因为公理的作用是，公理+逻辑 -----产生----> 定理/定理的证明。因此，如果逻辑体系本身变了，那么公理也要随之而变。欧几里得时代的逻辑学不发达，所以欧式公理是独立于一套明确的逻辑体系而提出来的。当然在那么久远的时代提出还是很伟大的。Tarski 和 Hilbert 最大的差别在于，Tarski 成功地绕过了 Godel's Incompleteness Theorem（不过这个定理其实就是冲着 Hilbert 来的），但代价是理解起来比 Hilbert 的要复杂（Hilbert 公理是 0 介逻辑，Tarski 是 1 介逻辑）。

2，Hilbert 和欧几里得的几个主要的不同在于，
a) 欧几里得公理没有提到立体几何，更无从谈及高维几何。
b) 线和点的关系，欧氏没有提及。
c) 一些关于实数拓扑性的公理，这个欧氏不可能知道。
d) 关于角度相等的公理，欧氏处理的不完整。
其实，还有 n 多。。。细讲的话，可以开半门大四的课了。。。

[ 本帖最后由颖颖于 2015-3-14 01:58 编辑 ]

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#14

发表于 2015-3-14 12:26 资料短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由 武骧金星 于 2015-3-14 02:30 发表
嘛，希尔伯特的事情先放一边吧……我对这种充满了定义和概念的事物真的比较难接收。

不过我对你提到的哥德尔不完备定理倒是挺有兴趣，这玩意我的同学以前好像提过，但是当时我就完全没搞懂……你能试试看让我 ...

Hilbert 说白了就是想完成欧氏的梦想，把全部数学都公理化，把全部定理都证出来（注意，是全部定理哦）。Godel 就是冲着这个事情来砸场的，他的不完整定理直接导致了 Hilbert 的野心流产。

所以从时间上来看，Hilbert 20 公理最早，然后是 Godel 不完整定理，然后是 Tarski 公理。Tarski 公理其实也是冲着 Godel 不完整定理来的。他们之间的骂战还是能让看客大饱眼福的，比司马光那种水平的强太多了。

[ 本帖最后由颖颖于 2015-3-14 12:28 编辑 ]

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#15

发表于 2015-3-14 14:19 资料短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由 天宫开发商 于 2015-3-14 13:39 发表
Hilbert 公理是 0 介逻辑，Tarski 是 1 介逻辑
Hilbert 说白了就是想完成欧氏的梦想，把全部数学都公理化，把全部定理都证出来（注意，是全部定理哦）。
这两句话是什么意思你搞懂了？被骗了还帮人数钱的家伙。

you can you up

武骧金星问他好了

[ 本帖最后由颖颖于 2015-3-14 14:20 编辑 ]

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#16

发表于 2015-3-14 17:13 资料短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由 天宫开发商 于 2015-3-14 15:33 发表

又崩溃了？

你本事大你来，我歇几天。到时候回来检查工作。

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#17

发表于 2015-3-29 13:16 资料短消息看全部作者

Hilbert's axioms, unlike Tarski's axioms, do not constitute a first-order theory because the axioms V.1–2 cannot be expressed in first-order logic.

http://en.m.wikipedia.org/wiki/Hilbert's_axioms

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#18

发表于 2015-3-29 13:18 资料短消息看全部作者

不学无术之徒看清楚没？

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