请教一元三次方程的求根公式 - 辕门射虎


	恋芸 (司徒飞麟)


	楚国公监管使枢密副使河东路经略使

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发表于 2006-2-19 01:00 资料个人空间短消息看全部作者

对于三次方程
ax^3+bx^2+cx+d=0
令x=y-b/(3a)，方程化为
y^3+py+q=0
其根为
x1=u+v
x2=ue+ve^2
x3=ve+ue^2
其中
e=cos(2*PI/3)+isin(2*PI/3)
u=(-q/2+sqrt(q^2/4+p^3/27))^(1/3)
v=(-q/2-sqrt(q^2/4+p^3/27))^(1/3)
这就是Cartan公式。

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发表于 2006-2-19 01:03 资料个人空间短消息看全部作者

晕，仔细一看偶上一楼的和青石的只是字母不同，

所以去网上找了一下，发现了这个。。。

一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下：
（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到
（2）x^3=(A++3(A

^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))
（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为
x^3=(A++3(A

^(1/3)x，移项可得
（4）x^3－3(A

^(1/3)x－(A+＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知
（5）－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+=q，化简得
（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3
（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即
（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a
(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a
(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为
y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
可化为
(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得
(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得
(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)
　　式 (14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。
根据公式可以算出第一个根是:
(-1/2-(31/108)^(1/2))^(1/3)+(-1/2+(31/108)^(1/2))^(1/3)
在根据多项式理论和已经求出的X,把三次方程降次为2次，用韦达定理算出另外两解即可

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