原帖由
岱瀛 于 2007-1-15 22:51 发表
周大神算，果然如姑姑如言，周大最会算来算去了.
(P.S:这在古代称为术数，所以早在慕容家的天下各路高手分析中早已注明周大擅奇门遁甲之术.
)
-------------------------------------------------- ...
你的解释中的第一部分非常精彩，帮我弄清楚了许多我原先并没有真正明白的部分。谢谢你。
你解释中的第二部分显然是不正确的。我们来具体算一算结果就知道了。以题设给出的正态分布条件为例。各楼层概率分布的计算及其结果列表附在后面，以免影响大家阅读。
给出以下两个方案p1，p2：
p1:第一个小球预计投下的楼层数为[14,27,39,50,60,69,77,84,90,95,99]
第二个小球预计投下的楼层数为[1:13]
[15:26]
……（后面省略）
这就是reynolds_wwy给出的方案。
p2:第一个小球预计投下的楼层数为[27 39 45 50 54 60 69 77 90]
第二个小球预计投下的楼层数为[1:26]
[28:38]
……（后面省略）
方案p1、p2显然都能保证得到结果。但是其效率是不同的。
在极值最优的条件下，显然p1更为合理：p1的最大投掷次数为：Xmax＝14；而p2的最大投掷次数为：Xmax＝27。
但是在期望最优的条件下，却是p2更为合理：p1在正态分布下的预期投掷次数为平均9.3625次。p2在正态分布下的预期投掷次数为平均6.5797次。
实际上，在题设给出的正态分布条件下，方案p2更有可能用最少的实验次数得到结果。当然万一出现最差情况，p2也能保证得到结果，只是耗费的次数比p1多得多，但这种概率很小。说明一下，p2并不一定是该概率分布下期望值最优的方案。它只是对p1的一个简单修正。
期望投掷次数的计算公式为：EX＝sum_w(X(w)*f(w))，可以参见我上一次的回复帖。
在非均匀概率分布的情况下，为什么会出现这种情况？打个简单的比方吧：如果一块地板下面有一个鼠洞，你要通过打洞的办法找到它。在什么都不知道的情况下，也即按均匀概率分布进行估计的情况下，你只能平均每隔一段距离打一个洞。但是如果你知道鼠洞的大概位置，你必然会在鼠洞可能存在的地方多打几个洞，而在其它地方少打一些。
事实上，无论在什么概率分布下，当我们只剩下一个球的时候，我们都不可避免地要在上一个球最后划定的区间内一层接一层地试下去。但是如果某个区间所包涵概率可能性小一些，我们不妨把这个区间所包涵的楼层数划的多一些，从而使其它区间所包涵的楼层数少一些。因为结果落在这个区间的可能性很小。一旦我们不需要测量这个区间，而只需测量其它区间，那么我们可以大大节省我们必须测试的楼层数。当然，结果落在这个小概率的区间的可能性不是没有，万一是这样，只能说我们赌博失败，于是我们不得不一层一层地测量许多层，从而多耗费更多的时间。不过这样的可能性很小。最终，我们可以求得一个期望下的平均值来作为我们决定策略的依据。
事实上，大多数工程，不会以极值作为优化策略的依据，而只会把极值作为一个给定的限制条件，只要在极端条件下不超出工程所能承受的能力，我们还是会以期望最优来建立我们的策略。于是上面那个题目还可以进一步限制为：在最坏条件下测量次数不能超过20次，请给出期望最优的方案设计。
附：题目给定的高斯分布下，各个楼层的概率值列表及其计算方法。
简单计算可知，正态分布函数的参数为：均值mu＝50；均方差sigma＝10/Fai(0.475)＝10/1.96＝5.1020。查表很麻烦，可以用matlab的normcdf函数来计算。为了离散化，我们把第n层的概率表达为[n－0.5，n+0.5]的积分，第一层和第一百层的概率表达为(-inf,0.5]和[99.5,+inf)的积分。利用高斯分布的对称性可以得到各层的概率值。下面是经计算得到的各层概率列表：
9.9068e-022 5.4009e-021 3.3308e-020 1.9769e-019 1.1293e-018 6.2081e-018 3.2846e-017
1.6726e-016 8.1966e-016 3.8659e-015 1.7548e-014 7.6662e-014 3.2232e-013 1.3043e-012
5.0793e-012 1.9037e-011 6.8672e-011 2.3840e-010 7.9655e-010 2.5614e-009 7.9271e-009
2.3611e-008 6.7683e-008 1.8673e-007 4.9580e-007 1.2670e-006 3.1161e-006 7.3758e-006
1.6803e-005 3.6840e-005 7.7736e-005 1.5787e-004 3.0856e-004 5.8042e-004 1.0508e-003
1.8309e-003 3.0703e-003 4.9553e-003 7.6970e-003 1.1506e-002 1.6555e-002 2.2924e-002
3.0551e-002 3.9185e-002 4.8372e-002 5.7468e-002 6.5710e-002 7.2312e-002 7.6587e-002
7.8068e-002 7.6587e-002 7.2312e-002 6.5710e-002 5.7468e-002 4.8372e-002 3.9185e-002
3.0551e-002 2.2924e-002 1.6555e-002 1.1506e-002 7.6970e-003 4.9553e-003 3.0703e-003
1.8309e-003 1.0508e-003 5.8042e-004 3.0856e-004 1.5787e-004 7.7736e-005 3.6840e-005
1.6803e-005 7.3758e-006 3.1161e-006 1.2670e-006 4.9580e-007 1.8673e-007 6.7683e-008
2.3611e-008 7.9271e-009 2.5614e-009 7.9655e-010 2.3840e-010 6.8672e-011 1.9037e-011
5.0793e-012 1.3043e-012 3.2232e-013 7.6662e-014 1.7548e-014 3.8659e-015 8.1966e-016
1.6726e-016 3.2846e-017 6.2081e-018 1.1293e-018 1.9769e-019 3.3308e-020 5.4009e-021
8.4285e-022 1.4782e-022
[ 本帖最后由 whws 于 2007-1-17 16:54 编辑 ]
