帮助某些不合格教师科普一下三角知识 - 辕门射虎


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#1

发表于 2015-2-10 19:08 资料短消息看全部作者

帮助某些不合格教师科普一下三角知识

我们将用以下习题，来证明欧拉公式 exp(ix) = cos(x) + i sin(x) 只依赖于

I，对 exp(x) 的级数展开
II，exp(x) 的导函数还是 exp(x)

尤其是，这里不会用到 sin(x) 和 cos(x) 的导函数。

已知 exp(x) = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...
则 f(x) = exp(ix) = (1 - x^2/2! + x^4/4! -...) + i (x - x^3/3! +... )
令实数部分为 g(x), 虚数部分为 h(x)，欲证 g(x) = cos(x)，h(x) = sin(x)。

习题 1，计算 f(0)
习题 2，证明 abs(f(x)) = 1
习题 3，证明 abs(f'(x)) = 1
习题 4，证明 f(0) 到 f(x) 之间的弧长为 x。
习题 5，解释为什么习题 1-4 足以证明 g(x)=cos(x), h(x)=sin(x)。

P.S. 哪里用到倍角公式了？

[ 本帖最后由穎穎于 2015-2-10 19:31 编辑 ]

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#2

发表于 2015-2-10 19:37 资料短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由墨叶于 2015-2-10 19:33 发表
已知 exp(x) = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...

这个高中就没学。

笑，exp(x) = lim_(n to infty) (1 + x/n)^n 总学过吧？不会二项式展开么？

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#3

发表于 2015-2-10 20:11 资料短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由墨叶于 2015-2-10 19:41 发表
另外，你说别人记公式，你还不是需要记exp(x) = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...
或 exp(ix) = cos(x) + i sin(x)。

如果都不记，你的推导速度未必更快。

我们应该把问题分开讨论...

1) 完全从教孩子的角度来说, 多教一个欧拉公式 exp(ix) = cos(x) + i sin(x) 没什么难的，而且我不信高中目前不教这个。从这个公式推导其他的，比现在的教法容易太多了。你作为现任教师，更应该虚心学习自己还不懂的知识，因为跟我拌嘴而误人子弟可就不好了。

2) 你想刁难我的问题，无非是想说明欧拉公式的核心，其实还是 sin(x), cos(x) 的导函数，而这两个导函数从最根本的 lim_{h -> 0} (sin(x+h) - sin(x)) / h 推，需要用到和差转积公式。我现在明确告诉你，你打错算盘了。欧拉公式可以几乎不依赖任何三角知识就能推出来。

3) 都说中国教育不会教孩子独立思维，这个问题足以证明老师自己就没有独立思维。我每次跟人讲到这一块，都会叹为观止一下，因为浓缩了那么多三角知识的一个公式，竟然可以完全用代数方法证出。太神奇了！

[ 本帖最后由穎穎于 2015-2-10 20:23 编辑 ]

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#4

发表于 2015-2-10 20:27 资料短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由 杏花疏影 于 2015-2-10 20:24 发表

如果用课本没有教过的知识来解题，考试是不得分的。你作为一个人，不应该强不知以为知，随便质疑专业人士，牺牲别人的利益，来逞一时口舌之快，图一个面子。

有些人一边骂中国教育出来的孩子没有独立思维，另一方面又鼓吹：用课本没有教过的知识来解题，考试是不得分的。

也算一奇

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#5

发表于 2015-2-10 20:44 资料短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由墨叶于 2015-2-10 20:28 发表
现在高中（大部分，有些可能有例外）所有的三角函数公式都可以直接推导。其中初始公式COS(A-

是由余弦定理推导的。
其他公式都是可以由此公式推导。
并不比你说的方式难。而且这一章结尾有总结公式的相互推导 ...

脸都被抽成那样了还死撑着？也好，我推 sin(a+b) 和 cos(a+b) 各用了两行计算。您从余弦定理推，限制两行推完。您请，这边请！

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#6

发表于 2015-2-10 20:48 资料短消息看全部作者

继续欠揍，我就再戳你个盲点

不是多一个公式的问题，要理解欧拉公式就需要展开讲。
比如现在浙江取消导数，主要原因是大部分高中生对导数只会死记公式，高考题型也很单一。

欧拉公式可以不依赖任何三角知识就能推出来，如果推导过程超过高中生的理解能力，高中就没必要教。

--------------------

请问高中教对数不？

[ 本帖最后由穎穎于 2015-2-10 20:52 编辑 ]

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#7

发表于 2015-2-10 20:50 资料短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由墨叶于 2015-2-10 20:45 发表
这个是你的原话。
如果你知道现在高中(已经除了和差化积＼积化和差＼万能公式＼三倍角公式＼半角公式）的推导是多么简单，就不会说这样外行的话。
就算是以前，全国教材统一的时候，也是没有学导数的。
那时候确实要记得三角函数公式会多些，但是推导难度也不大。

那么简单就拿出来晒晒呗，记住哦，两行计算。

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#8

发表于 2015-2-10 21:00 资料短消息看全部作者

回复 #18 墨叶的帖子

你不是说能轻松推出 sin(a+b) 么？

说真的，你拿欧拉公式给学生们推一次，他们会感谢你的。

[ 本帖最后由穎穎于 2015-2-10 21:02 编辑 ]

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#9

发表于 2015-2-10 21:05 资料短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由墨叶于 2015-2-10 21:03 发表
COS（A-

，高中这个算基本公式，其他都可以由此推导，当然开始学三角函数的时候会教。
从COS（A-

推导SIN(A+

当然简单。

推一个看看啊

P.S. 别告诉我你基本功不扎实，连最基本的该背哪个都没搞清楚？

[ 本帖最后由穎穎于 2015-2-10 21:09 编辑 ]

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#10

发表于 2015-2-10 21:23 资料短消息看全部作者

回复 #22 墨叶的帖子

重复的为什么不列了？害怕欧拉公式一次推俩么？无所谓了，不差你这点便宜。

另外我建议赛制这样来，

第一个，你先推
第二个，第三个，我先推
第四个，第五个，你先推
第六个，第七个，我先推
第八个，你先推

至今还没看到推任何实质性东西，需要表示一点诚意啊。

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#11

发表于 2015-2-10 21:30 资料短消息看全部作者

回复 #22 墨叶的帖子

或者你把我之前出的两道习题做了也可以。。。

1，展开 tan(a1 + ... + an)
2，展开 tan(nx)

总之你得先拿出点东西来。

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#12

发表于 2015-2-10 22:07 资料短消息看全部作者

回复 #25 墨叶的帖子

不是浪费时间, 关键是我一次推两个公式, 无所谓了...

1, exp(i(p+q)) = (cos(p)+i sin(p))(cos(p) + i sin(q))
= cos(p)cos(q)-sin(p)sin(q) + i(sin(p)cos(q) + cos(p)sin(q))
比较实数虚数部分可得 sin(p+q) 和 cos(p+q)

2, 由 1),
tan(p+q) = sin(p+q)/cos(p+q)
= (sin(p)cos(q)+cos(p)sin(q)) / (cos(p)cos(q)-sin(p)sin(q))
= (tan(p) + tan(q))/(1 - tan(p)tan(q))

3, 令 q = p, 1) => sin(2p) = 2sin(p)cos(p), cos(2p) = cos^2(p) - sin^2(p), 2) => tan(2p) = 2 tan(p) / (1 - tan^2 (p))

-----------------------------

该你推 2, 3, 4, 5 了。预祝好运，不要杯具了哦。

[ 本帖最后由穎穎于 2015-2-10 22:42 编辑 ]

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#13

发表于 2015-2-10 22:52 资料短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由墨叶于 2015-2-10 22:51 发表
你2、3怎么不用欧拉公式。
教科书上也是如此推导2、3的。我就不重复了，不信你去翻教科书。

第4个前面打错了。
Asinp+BcosP=√(A^2+B^2)sin(P+R），其中tanR=B/A。中间还有1步太麻烦了。
sinp+sinq=SIN(( ...

2，3 如果你不借鉴 1) 我也可以不借鉴，直接拿欧拉推，估计还是比你快。
4，按第一版来用欧拉很简单，你想见识一下么？

[ 本帖最后由穎穎于 2015-2-10 22:59 编辑 ]

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#14

发表于 2015-2-10 22:59 资料短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由墨叶于 2015-2-10 22:53 发表

不看学生的具体情况，只会用自己的一套强行让学生接受，并不是合格的教学方式。

不懂问题的本质，只会照本宣科，才是误人子弟！

为什么中国教育系统只会培养考试人才，就是你这样的老师太多了！

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#15

发表于 2015-2-10 23:13 资料短消息看全部作者

买一送一，不小心把余弦定理顺带证了

4, 由于 cos(x) = sin(x+pi/2), 故存在 r 使得 cos(q+r) = sin(p)。

Acos(q+r) + Bcos(q) = Re(A exp(iq) exp(ir) + B exp(iq))
= Re((A exp(ir) + B ) exp(iq))
= C cos(q+s)
其中
C = sqrt((A cos(r) + B )^2 + (A sin(r) + B )^2) <------ (复数的绝对值)
= sqrt(A^2 + B^2 + 2cos(r))
s = arctan((A sin(r) + B )/(A cos(r) + B )) <------- 对 exp(iq) 的修正角 = 复数的 argument= arctan(虚数部分/实数部分)

---------------------------

自己出的题，反把自己坑了，您请！

[ 本帖最后由穎穎于 2015-2-11 01:48 编辑 ]

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#16

发表于 2015-2-10 23:20 资料短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由墨叶于 2015-2-10 22:51 发表
你2、3怎么不用欧拉公式。
教科书上也是如此推导2、3的。我就不重复了，不信你去翻教科书。

第4个前面打错了。
Asinp+BcosP=√(A^2+B^2)sin(P+R），其中tanR=B/A。中间还有1步太麻烦了。
sinp+sinq=SIN((P/2+Q/2)+(P/2-Q/2))+SIN((P/2+Q/2)-(P/2-Q/2))=...=SIN(P/2+Q/2)cos(P/2-Q/2)。
中间太长省略。

这也叫推么？无语！

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#17

发表于 2015-2-10 23:42 资料短消息看全部作者

回复 #36 墨叶的帖子

第四题还是没做出来啊

P.S. 不带半路改题的

[ 本帖最后由穎穎于 2015-2-10 23:46 编辑 ]

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#18

发表于 2015-2-10 23:58 资料短消息看全部作者

买一送一

exp(ip) + exp(iq) = exp(i((p+q)/2+(p-q)/2))+exp(i((p+q)/2 - (p-q)/2))
= exp(i(p+q)/2)(exp(i(p-q)/2) + exp(i(p-q)/2))
= (cos((p+q)/2)+i sin((p+q)/2)) 2cos((p-q)/2)
虚数部分：sin(p)+sin(q)=2sin((p+q)/2)cos((p-q)/2)
实数部分：cos(p)+cos(q)=2cos((p+q)/2)cos((p-q)/2)

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#19

发表于 2015-2-11 00:16 资料短消息看全部作者

再买一送一

exp(i(p+q)) - exp(i(p-q))
= exp(ip)(exp(iq) - exp(-iq))
= exp(ip)(2i sin(q))
虚数部分：2sin(p)cos(q)=sin(p+q)-sin(p-q)
实数部分：-2sin(p)sin(q)=sin(p+q)-sin(p-q)

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#20

发表于 2015-2-11 00:31 资料短消息看全部作者

万能公式

用第三题结果，如果 tan(a/2)=t, tan(a) = 2t/(1-t^2)。由于 (1-t^2)^2+(2t)^2 = (1+t^2)^2，因此存在正角三角形边长为 2t, 1-t^2, 1+t^2. 其余显然。

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#21

发表于 2015-2-11 00:38 资料短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由 sznsy35 于 2015-2-11 00:17 发表
难得看见数学上的练手。我是理论物理出身，数学也好过得去。
欧拉公式的伟大，就在于代数运算与三角关系之间的神级转化，确实欧拉公式解释三角关系和三角公式应用确实更本质。而且欧拉公式不仅是数学上极其神奇 ...

欧拉公式的神奇，在于它可以完全独立于三角形几何体系（见本贴主楼），却包含了几乎所有三角函数的信息。在某种程度上，它可以使三角函数理论退几何化完全代数化。应用上便于计算，同时还能让我们研究比如说有限群上，拓扑群上的三角函数（其实也就是表示论了）。

说到中学教育，其实多砍点平面几何和传统三角，直接上复数才是最正确的教法。只可惜中国的一些渣渣老师们，一边骂教育体制只会培养考试高手，一边自己不思进取只会照本宣科。

看看第四题，他自己把题出错了就束手无策，所做的事情就是把题改回他课本上的模板，而不是迎风而上跟它拼了。这种老师教出的学生，估计也只能是考试高手了。

[ 本帖最后由穎穎于 2015-2-11 01:02 编辑 ]

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#22

发表于 2015-2-11 01:07 资料短消息看全部作者

回复 #43 sznsy35 的帖子

欧拉方便并非给予他的应用，而是因为它比三角函数本身更 fundamental。就好比你以月亮为中心去写太阳系的行星轨迹无比复杂，但如果以太阳为中心去写却简单很多。

不过仔细想想，欧拉公式的存在也是意料之中的。因为所有 (cos(t), sin(t)) 的解析点，都在单位圆上。而单位圆本身也是二元多项式 p(x,y)=x^2+y^2-1 的根（algebraic variety 的视角）。

因此，对于代数集合（多元多项式的根）的描述，终究还是会还原成代数，何况复数集合本身的严格定义，也是实系数多项式 p(x) 除以 1+x^2 的余数。

[ 本帖最后由穎穎于 2015-2-11 01:25 编辑 ]

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#23

发表于 2015-2-11 01:34 资料短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由 xkjo 于 2015-2-11 01:28 发表
我倒是觉得，如果要讨论高中数学老师是否合格，那么考核范围就应该在现在的高中教学大纲。另外，稍微评价下楼主的语言风格吧，在汉语中夹杂一两句洋文，这个围城中那些假洋鬼子的做派，现在并不流行了。如果引用 ...

备案是 a sin p + b cos p，结果笔误打成 a sin p + b cos q, 差了一个字符立刻就不会做了。原来学生以后遇到的所有交流电问题，DSP 问题，都要指望老天爷都正好把 phase 角错开 pi/2 了。说实话，对这种表现我感到震惊！

P.S. 现在流行什么关我屁事？

[ 本帖最后由穎穎于 2015-2-11 01:40 编辑 ]

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#24

发表于 2015-2-11 01:43 资料短消息看全部作者

追着喊着跟我叫板，说欧拉公式依赖于倍角公式。。。连这点基本常识都没有，当理科老师纯粹误人子弟。

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#25

发表于 2015-2-11 11:06 资料短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由潁潁于 2015-2-11 11:02 发表
其实 48 楼已经说的很清楚了，欧拉公式和无理数幂数所需要的基础知识，其实是完全相同的。为什么无理数幂数就能教，到欧拉公式就说还得先教级数麻烦？

还是墨叶压根就没意识到无理数幂数有问题？哎，无语啊。。。

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#26

发表于 2015-2-11 11:08 资料短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由墨叶于 2015-2-11 11:00 发表

能应付复杂的公式，面对复杂的问题能找出头绪。这是学三角函数的一个作用。
掌握三角函数的相互推导，并加以应用，也是学习的一种成果。
三角函数本身有什么用价值并不高，高考后不需要的忘了也无妨。文科 ...

知道交流电/DSP这些领域最主要的数学工具是什么么？

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#27

发表于 2015-2-11 11:11 资料短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由墨叶于 2015-2-11 11:06 发表

因为有理数幂很容易懂。无理数幂是合理延生，同时也给有些同学增加学习兴趣。

在知道整数幂是什么意思的情况下，有理幂可以定义为
a^(m/n)=b 则 a^m = b^n。（a, b 暂且限制非负吧）
但如果是 a^r，且 r 不能写成 m/n 的情况，你怎么定义幂数的？稀里糊涂一带而过么？

[ 本帖最后由穎穎于 2015-2-11 11:23 编辑 ]

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#28

发表于 2015-2-11 11:12 资料短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由墨叶于 2015-2-11 11:11 发表

高中没有解答无理数幂，有兴趣的学生可以课外学习。没兴趣的不会去管这个。
这也是学习的一部分。

平面几何的公理，大部分学生也是直接接受的。有能力的课外自学，完全没问题。
教学过程中留些问题给学 ...

2^x = 10，求 x... 简单不过的高中题了吧？难道 x 解出来是有理数？再次暴露部分高中老师的知识底子有多薄。

[ 本帖最后由穎穎于 2015-2-11 11:20 编辑 ]

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#29

发表于 2015-2-11 11:14 资料短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由墨叶于 2015-2-11 11:12 发表
我没有否认欧拉公式。
有多少高中毕业生需要掌握交流电/DSP的？

理工科的基础，肯定不少。最可悲的是，很多人学到大二交流电，用的明摆是高中三角公式，只不过换了一个表达形势，就完全不认识了。

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#30

发表于 2015-2-11 11:18 资料短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由 i smile 1111 于 2015-2-11 11:14 发表
2000年上高中，课本里没有导数的概念。大学微积分才学到。
楼主有些执迷了，

你没明白我的意思，欧拉和无理幂数的基础是一样的，都需要对 exp(x) 进行比较细致的了解。既然教无理数幂数可以一笔带过，那么在学导数之前未必不能教需要导数才能证明的结果。

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