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回复 #21 KYOKO 的帖子
大致上说，圆规的功能相当于二次多项式，直尺的功能是一次多项式。规尺做图一般要求在有限次步骤完成，这个等同于将目标函数在有理数域上分解为一次和二次多项式（一般来说，分母=规尺做图所需要的步骤）。所以说，规尺做图最多只能做一次和二次多项式的事情。由于 cos(x) = 4cos^3(x/3) + 3cos(x/3)，因此三分角可以看做是一个三次多项式的运算。所以，在大多数的情况下，是不可能由一次和二次的工具来完成的。因为对大多数 t，p(u) 4u^2 + 3u + t (u = cos(x/3), t = cos(x))，不能在有理数域上分解为一次和二次多项式，偶尔几个角度能三分的也纯粹是因为人品。
P.S. 这个理论不但可以证明一些图形用规尺做图话不出来，还能靠多项式分解的原理画出原来不会画的图形出来。比如说规尺做图正 17 边形，就是高斯靠多项式分解算出来的。
可证，以下正 n 边形可被规尺画图，n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272, 320, 340, 384, 408, 480, 510, 512, 514, 544, 640, 680, 768, 771, 816, 960, 1020, 1024, 1028, 1088, 1280, 1285。。。
回复 #22 3_141592653589 的帖子
背景空间是平面的话，三角函数波也是可以的。但比如说 GPS 信号，背景空间是球体的，就需要群表示代替三角函数了。
[ 本帖最后由 颍颍 于 2013-5-15 21:09 编辑 ]
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