标题: 一个组合题
性别:未知-离线 zhaohaidao

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发表于 2010-10-18 16:39 资料 短消息 看全部作者


QUOTE:
原帖由 颖颖 于 2010-7-26 10:18 发表
如果我们要把 n 个水果装进一个塑料袋里,且这些水果满足以下限制:
1,苹果数必须是偶数
2,香蕉数必须是5的倍数
3,橙子最多4个
4,梨最多1个。
一共有多少种不同的装法?

最近刚学了组合数学,。。把这个问题建立模型
以下1代表不放,x^2表示放2个,以此类推。。
苹果数为偶数设为:1+x^2+x^4+......说明苹果可以没有,或者是2个或者是4个。。。
香蕉树为5的倍数:1+x^5+x^10+.....
橙子数最多为四个:1+x+x^2+x^3+x^4
梨子数最多1个:1+x
则(1+x^2+x^4+......)*(1+x^5+x^10+.....)*(1+x+x^2+x^3+x^4)*(1+x)化简后x^n的系数恰好就是n个水果不同的放法
(1+x^2+x^4+......)*(1+x^5+x^10+.....)*(1+x+x^2+x^3+x^4)=1/(1-x^2)*1/(1-x^5)*(1-x^5)/(1-x)*(1+x)=1/(1-x)^2
=1+2x+3x^2+4x^3+.......+(n+1)x^n...

其中 1/(1-x)^n=1+nx+n(n+1)x^2/2!+n(n+1)(n+2)x^3/3!+.....

这个方法算是这种常见问题的通解吧

[ 本帖最后由 zhaohaidao 于 2010-10-18 17:12 编辑 ]


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