求解一个数学题 - 我思我在 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


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#1

发表于 2010-4-26 08:31 资料个人空间短消息看全部作者

假设y=cos(x/6)是周期函数，那么应该存在一个非零整数s，使得对于任意整数x，都有

cos[(x+s)/6]=cos(x/6)=cos(x/6+2kπ)，其中k为非零整数

即s/6=2kπ

s=12kπ 为无理数，与s为整数矛盾

故y=cos(x/6)不是周期函数

[ 本帖最后由阿尔法孝直于 2010-4-26 12:12 编辑 ]

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#2

发表于 2010-4-26 12:43 资料个人空间短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由 KYOKO 于 2010-4-26 12:39 发表
y=cosx就是周期函数，加个>1的分母就肯定不是了？？

看清题目，自变量是整数，那么cosx就不是周期函数

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#3

发表于 2010-4-26 13:16 资料个人空间短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由颖颖于 2010-4-26 12:48 发表
这个证明不严谨。没错，对于任何 t，都有 cos(t)=cos(t+2kπ)。但这并不能表明 cos(t) = cos(u) 则 t 和 u 之间一定就差 2π 的倍数。

那么：

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

假设y=cos(x/6)是周期函数，那么应该存在一个非零整数s，使得对于任意整数x，都有

cos[(x+s)/6]=cos(x/6)，其中k为非零整数

即(x+s)/6=x/6+2kπ 或 (x+s)/6+x/6=2kπ

若(x+s)/6=x/6+2kπ，

s=12kπ 为无理数，与s为整数矛盾；

若(x+s)/6+x/6=2kπ

2x+s=12kπ，左边是整数，右边是无理数，矛盾。

故y=cos(x/6)不是周期函数

[ 本帖最后由阿尔法孝直于 2010-4-26 13:17 编辑 ]

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#4

发表于 2010-4-27 01:04 资料个人空间短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由颖颖于 2010-4-26 13:23 发表

习题：以此类推，一个函数最多能有多少个不同的周期？

以下这个函数：

　　　1　,　x是有理数
y=＜
　　　0　,　x是无理数

无数个周期，但找不到最小正周期。

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#5

发表于 2010-4-28 12:54 资料个人空间短消息看全部作者

回复 #16 KYOKO 的帖子

一个连续的区间，无论多小，必然同时存在有理数和无理数。

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#6

发表于 2010-4-28 13:06 资料个人空间短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由 KYOKO 于 2010-4-28 12:56 发表
问题是如何证明的？

ps：难道构造一个无理数，这个无理数就在这区间之内？这算证明吗

举个例子，区间(3.49,3.50)，就有无理数π+0.35在这里面。
随便一个区间，我都可以找到一个数(π+一个有理数)在这里面。

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#7

发表于 2010-4-28 18:02 资料个人空间短消息看全部作者

已知一个无理数s在区间(q1,q2)内(q1,q2为有理数)，则|s/q1|，|s/q2|必定至少一个小于1。（证略）

a)设有两个有理数m1,n1（m1<n1），有理数(m1+n1)/2必然在(m1,n1)内，无理数m1+(n1-m1)|s/q1| 与 m1+(n1-m1)|s/q2|中的至少一个必然在(m1,n1)内。

b)设有两个无理数m2,n2（m2<n2），一个足够大的正有理数p，无理数m2+m2/p在(m2,n2)内。有理数呢？怎么证？我也考虑一下。

c)一个是有理数，一个是无理数呢？

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#8

发表于 2010-4-29 14:47 资料个人空间短消息看全部作者

根号2是无理数的证明过程：

假设根号2是有理数，那么存在一组非零整数p,q，使得根号2=p/q

于是 2q^2=p^2

如果q能被2^n但不能被2^(n+1)整除(n是自然数)，那么p^2=2q^2能被2^(2n+1)但不能被2^(2n+2)整除

于是p^2不是一个平方数，矛盾。

故根号2是无理数。

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