一元三次方程的通解是什么? - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


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#1

发表于 2007-5-13 10:14 资料主页个人空间短消息看全部作者

先化简成 X^3+aX^2+bX+c=0
然后令X=Y-a/3,变成X^3+pX+q=0的形式

对于X^3+pX+q=0
令X=u+v,则X^3=3uvx+(u^3+v^3)=-px-q
对照两边系数
uv=-p/3
u^3+v^3=-q
再解这两个方程组
u^3*v^3=-p^3/27
u^3+v^3=-q
所以u^3和v^3是一元二次方程t^2+qt-p^3/27=0的根
用求根公式解出
然后开方得出u和v
再代入X=u+v

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青木风亮

2007-5-14 23:44

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#2

发表于 2007-5-13 18:25 资料主页个人空间短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由 天宫公主 于 2007-5-13 13:27 发表
青石的解法没错，不过我更喜欢用三角函数的方法。原因是四次方的通解，可以把三角函数推广成椭圆函数而得。

椭圆函数可以想象成在复平面上有双周期的解析函数。五次方程之上就没有通解了。

这个方法初等
很容易懂也容易记住

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#3

发表于 2007-5-13 18:28 资料主页个人空间短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由 KYOKO 于 2007-5-13 13:30 发表
公主说得是吗?怎么我记得四次方程就没有通解了

一元四次方程有根式解
五次以及五次以上没有根式解

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#4

发表于 2007-5-14 09:29 资料主页个人空间短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由 天宫公主 于 2007-5-13 20:13 发表

很遗憾的是，容易明白和容易推广经常是互相矛盾的。

嗯这是很难统一
许多题目的简单解法往往强烈依赖于题目的某些特点
而这通常没有普遍性

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