刷墙头 - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


	天宫公主 (司徒家的颖颖)


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#1

发表于 2005-10-7 15:36 资料主页短消息看全部作者

1. A组一共有5个人, 要刷一面墙. 这5个人如果单独刷, 他们的速度是1:00, 1:15, 1:30, 1:45, 2:00小时刷好(:后面=分钟数). B组也有5个人涮一面墙, 但他们的速度全是1:30小时刷完一面. 如果A, B两组比赛的话, 谁会胜出(先刷完的一组为胜)?

2. A组一共有N个人, 要涮一面墙. 这N个人如果单独涮, 他们的速度是a_1, a_2, ... , a_N小时涮好. B组也有N个人涮一面墙, 但他们的速度全是b小时唰完一面, 其中b = (a_1 + a_2 + ... + a_N)/N,
i) 如果A, B两组比赛的话, 谁会胜出?
ii) 假设A赢, 能否想出一个更小的b(提高对手速度), 但保持结果不变? 假设A输, 能否想出一个更大的b(降低对手速度)?

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#2

发表于 2005-10-7 21:18 资料主页短消息看全部作者

呵呵... 我承认我中文错别字不少. 不好意思.

最好给出步骤吧.

2 ii) 你既然觉得A组胜出, 那么就让B组每人的速度提高一点, 但提高以后还要保持A组赢. 也就是说, 看你是否能缩小比赛差距.

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#3

发表于 2005-10-7 23:53 资料主页短消息看全部作者

比几面墙有区别么? 反正A,B两组大家刷的面积都是一样的(是集体比赛, 不是各人单挑).

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#4

发表于 2005-10-8 00:34 资料主页短消息看全部作者

晕啊... E每小时刷12个格子, 5小时才刷完一面墙... 我给的条件里, 最慢的明明是两小时完成一面啊.

不过要说核心意义没理解错... 但为什么改5个小时啊?

另, 我的问 ii) 在part b才比较好玩的.

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#5

发表于 2005-10-8 11:20 资料主页短消息看全部作者

第二部分啊... 不是想象的那么简单了... 主要你要考虑到任意速度A1, ... AN.

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#6

发表于 2005-10-8 13:20 资料主页短消息看全部作者

嗯... 有点意思. 加油! 继续!

关键要比出来
(a1*a2*……*an)/(a1+a2+……+an) V.S. (a1+a2+……+an)/n^2
看那个大.

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#7

发表于 2005-10-8 22:34 资料主页短消息看全部作者

嗯... 算我粗心, VICTOR说的不错. 但这两个形式都不是易于对比的写法. 继续努力!

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#8

发表于 2005-10-9 14:09 资料主页短消息看全部作者

要我写的话...
T_A = 1/[1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an]
T_B = (a1 + a2 + ... + an)/n^2.

欲证 T_A <= T_B, 命题等价于证明
(a1 + ... + an)(1/a1 + ... + 1/an) > n^2.

证法1: 利用柯西不等式,
sqrt[(a1+...+an)(1/a1 +...+ 1/an)]
>= {sqrt(a1)[1/sqrt(a1)] +...+ sqrt(an)[1/sqrt(an)]}
= 1+...+1
= n.

证法2: 利用数学归纳法,
n=1, 命题显然: a + 1/a > 1.
令S_k = a1 + ... + ak, T_k = 1/a1 + ... + 1/ak. 由归纳假设, S_k T_k > k^2. 则,
S_{k+1} T_{k+1}
= (S_k + a_{k+1})(T_k + 1/a_{k+1})
= S_k T_k + a_{k+1} T_k + S_k/a_{k+1} + 1
> k^2 + 2k + 1
= (k+1)^2

证法3: 命题等价于:
(a1 + ... + an)/n > n/(1/a1 + ... + 1/an).
直接用算数-调和不等式即可.

ii) 如果用证法3, 可以联想到几何平均数, 则 b = (a1.a2...an)^{1/n} 满足命题要求. 理论性讲当然还有很多其它的b.

P.S. 我觉得此题是最容易帮助理解调和平均数的一个日常生活问题.

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