概率趣题 - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


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#1

发表于 2005-8-29 02:22 资料主页短消息看全部作者

1. 假设A_1, ... , A_N是惟有的N个事件, 且全部完全独立. 求证, 至少有一个事件发生的概率等于1.

2. 用命题1, (用概率方法)求证存在无穷多个素数.

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#2

发表于 2005-8-29 21:02 资料主页短消息看全部作者

解答: 令n = intersection, u = union, p_i = Pr (A_i), i = 1,...,n.

因A_1 , ... , A_n 是唯一可能发生事件, 故

1 = Pr(A_1 u ... u A_n )
= [Pr(A_1) +...+ Pr(A_n)] - [Pr(A_1 n A_2) + Pr (A_1 n A_3) + ... ] + [Pr(A_1 n A_2 n A_3) + ... ] - ... (由 inclusion-exclusion 原理)
= Sum p_{i_1} - Sum p_{i_1} p_{i_2} + Sum p_{i_1} p_{i_2} p_{i_3} - ... (由事件独立性).

故:

1 - Sum p_{i_1} + Sum p_{i_1} p_{i_2} - Sum p_{i_1} p_{i_2} p_{i_3} + ... = (1 - p_1) (1 - p_2) ... (1 - p_n) = 0. (注意分解!!!)

因此至少存在一个j, 满足p_j = 1, 则Pr(A_j) = 1. 命题(1)得证.

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#3

发表于 2005-8-29 21:04 资料主页短消息看全部作者

发了第一部分的解答... 为了不造成完全公布, 我暂时设了1TB.

第二部分比第一部分容易很多, 大家加油!

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#4

发表于 2005-8-30 11:07 资料主页短消息看全部作者

本来不想涉及到测量的, 但假设(Omega , F, Pr)是一个概率空间, 惟有的意思是 Omega = A_1 u ... u A_n. (i.e. A_1 , ... , A_n are exhaustive - 可能我翻译的不好)

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#5

发表于 2005-8-30 16:50 资料主页短消息看全部作者

青木风亮：第二部分总部太“裸”了吧？

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#6

发表于 2005-8-30 18:26 资料主页短消息看全部作者

概率公理: Pr (Omega) = 1.

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