#1 证明：所有的自然数都相等
定理：所有的自然数都相等。

证明：
先证引理：令 x, y 为自然数。如果 max(x, y) = k, 则 x = y。

引理证明（强归纳法）：当 k = 1，命题显然：如果 max(x, y) = 1，则必然有 x=1 和 y=1；由自然数的唯一最小元素公理，必得 x = y。
假设对于所有 k < N，引理皆成立。如果 max(x, y) = N, 则 max(x-1, y-1) = N-1 。因 N -1 < N，由归纳假设，可知 x-1 = y-1。等式两边加１得 x = y。引理证毕。
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