标题: 概率趣题 [打印本页]
作者:
天宫公主 时间: 2005-8-29 02:22
1. 假设A_1, ... , A_N是惟有的N个事件, 且全部完全独立. 求证, 至少有一个事件发生的概率等于1.
2. 用命题1, (用概率方法)求证存在无穷多个素数.
作者:
天宫公主 时间: 2005-8-29 21:02
解答: 令n = intersection, u = union, p_i = Pr (A_i), i = 1,...,n.
因A_1 , ... , A_n 是唯一可能发生事件, 故
1 = Pr(A_1 u ... u A_n )
= [Pr(A_1) +...+ Pr(A_n)] - [Pr(A_1 n A_2) + Pr (A_1 n A_3) + ... ] + [Pr(A_1 n A_2 n A_3) + ... ] - ... (由 inclusion-exclusion 原理)
= Sum p_{i_1} - Sum p_{i_1} p_{i_2} + Sum p_{i_1} p_{i_2} p_{i_3} - ... (由事件独立性).
故:
1 - Sum p_{i_1} + Sum p_{i_1} p_{i_2} - Sum p_{i_1} p_{i_2} p_{i_3} + ... = (1 - p_1) (1 - p_2) ... (1 - p_n) = 0. (注意分解!!!)
因此至少存在一个j, 满足p_j = 1, 则Pr(A_j) = 1. 命题(1)得证.
作者:
天宫公主 时间: 2005-8-29 21:04
发了第一部分的解答... 为了不造成完全公布, 我暂时设了1TB.
第二部分比第一部分容易很多, 大家加油!
作者:
青木风亮 时间: 2005-8-30 01:58
天公这题忒吓人 最好套上应用的外表再上街 裸奔是不好滴
作者:
lcarron78 时间: 2005-8-30 09:14
“惟有”是什么意思？
作者:
天宫公主 时间: 2005-8-30 11:07
本来不想涉及到测量的, 但假设(Omega , F, Pr)是一个概率空间, 惟有的意思是 Omega = A_1 u ... u A_n. (i.e. A_1 , ... , A_n are exhaustive - 可能我翻译的不好)
作者:
zeroideal 时间: 2005-8-30 12:58
我感觉字面上解释，“惟有”就是指这N件事都不发生是不可能的吧。
加个独立性的话，(1 - p_1) (1 - p_2) ... (1 - p_n) = 0是很直观的呀。
作者:
天宫公主 时间: 2005-8-30 16:50
青木风亮：第二部分总部太“裸”了吧？
作者:
lcarron78 时间: 2005-8-30 17:58
原帖由天公将军于2005-08-30, 11:07:26发表
本来不想涉及到测量的, 但假设(Omega , F, Pr)是一个概率空间, 惟有的意思是 Omega = A_1 u ... u A_n. (i.e. A_1 , ... , A_n are exhaustive - 可能我翻译的不好)
Omega 是所有事件的并集 ,那又怎样呢?还是不明白
作者:
天宫公主 时间: 2005-8-30 18:26
概率公理: Pr (Omega) = 1.
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