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标题: 平面几何题一道 [打印本页]

作者: 青石 时间: 2005-6-3 12:21

在三角形ABC中，AD，BE，CF分别是边BC，AC，AB上的高。
若AE+AF=BC， BD+BF=AC，CD+CE=AB。
证明：三角形ABC是正三角形。

作者: 青石 时间: 2005-6-7 06:25

这个题目有点难度

提示一下：可以运用解直角三角形的知识解决

欢迎运用初中以外的知识解决

关键是能够解决问题

作者: 義経と静御前 时间: 2005-6-7 21:28

因为三角形三条高交于一点（有这定义吧？忘了）

设交点O

根据相似关系（△ABD∽△CFB∽△AOF∽△COD，证明略～）

有CO/CD＝AB/AD＝CB/CF
　CO/CD=(CE+CD)/AD=(BD+CD)/CF

有CO/CD=(CE+CD)/AD => (CD+CE)/CD=CO/AD
　CO/CD=(BD+CD)/CF => (CD+CE)/CD=CO/CF

∴AD=CF

同理可得AD=BE，即三角形三条高相等

∴该三角形为等边三角形

不知道出没出初中得东东～～

作者: kjww 时间: 2005-6-21 16:12

我用尺量行不行，呵呵
知识都还给老师了～～

作者: 博得一笑 时间: 2005-6-21 16:37

年轻5年，估计还能做做……

作者: 穆成雪 时间: 2005-6-21 23:14

来

由相似三角形

AF/AE=AC/AB
      =(BD+BF)/(CD+CF)
      =(BD+BF+AF)/(CD+CF+AE)
      =(AB+BD)/(AC+CD)             ①

又由勾股定理

AC^2-DC^2=AB^2-BD^2
=>(AB+BD)/(AC+CD)=(AC-DC)/(AB-BD)  ②

由①、②
AC/AB=(AC-DC)/(AB-BD)
=>AC/AB=DC/BD
=>角BAD=角CAD
=>AB=AC

同理可得BA=BC CA=CB

作者: 青石 时间: 2005-6-24 12:54

阿穆的解法除了下述中的CF应为CE外，是正确的
=(BD+BF)/(CD+CF)
　　　　 =(BD+BF+AF)/(CD+CF+AE)

偶是用反证法+解直角三角形做出来的

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