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标题: 一道几何不等式,求解 [打印本页]

作者: wctwct    时间: 2011-5-24 15:37     标题: 一道几何不等式,求解

a,b,c为三角形三边,Ha,Hb,Hc为对应三条高线,证
1/Ha+1/Hb+1/Hc>=(2/sqrt(3))*(1/a+1/b+1/c)
(sqrt为开平方根)
作者: 三国群英    时间: 2011-5-24 19:03

看都看晕了~再看看......还是看不懂
作者: wctwct    时间: 2011-5-25 12:37

呃,没人会这个吗………………
作者: KYOKO    时间: 2011-5-25 14:49     标题: 百度大神

S=(1/2)absinC=(1/2)bcsinA=(1/2)acsinB;(1)
S=(1/2)a*Ha=(1/2)b*Hb=(1/2)c*Hc;(2)
由此两边同乘以2S,由(2),即证
a+b+c>=(2/sqrt(3))*(Ha+Hb+Hc)
由(1),(2)可得Ha=bsinC   Hb=csinA   Hc=asinB
即证a+b+c>=(2/sqrt(3))*(bsinC+csinA+asinB)

sinA+sinB+sinC<=(3/2)*sqrt(3)     (琴生不等式可证)。。。。(3)
由正弦定理,原式可转化为:
sinA+sinB+sinC>=(2/sqrt(3))*(sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB),两边同乘(3/2)*sqrt(3),得
(3/2)*sqrt(3)*(sinA+sinB+sinC)>=3*(sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB)
由(3),左>=(sinA+sinB+sinC)^2
=(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2+2(sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB)
若要>=3*(sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB)成立,即要
(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2>=sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB,即可,此式显然成立
当且仅当A=B=C=60°取等

得证

若需要部分语句的解释,可追问

================================
最好谁能解释下sinA+sinB+sinC<=(3/2)*sqrt(3):hz1027:

[ 本帖最后由 司徒苍月 于 2011-5-25 15:28 编辑 ]
作者: KYOKO    时间: 2011-5-25 14:51

汗,怎么这么倒霉

B+)这个符号正好是论坛戴眼镜的那位,有点别扭
作者: 颖颖    时间: 2011-5-25 14:54     标题: 回复 #4 KYOKO 的帖子

现在懒的动脑子了,看这题就想用拉格朗日乘数硬算。
作者: 沔阳刘俊    时间: 2011-5-25 15:12

好强大的百度大神,好强大的琴生不等式!佩服!佩服!
想了好久,对于2/sqrt(3)是无能为力,现在了解了!
作者: wctwct    时间: 2011-5-27 18:19     标题: 回复 #4 KYOKO 的帖子

sinA+sinB+sinC<=(3/2)*sqrt(3)这个我倒知道,正弦函数是凹函数,琴生无压力
作者: edc34512    时间: 2011-5-27 18:40

俺才读小学,几何题不会(哇,以前只知道几何是一种图形的计算方程,不想竟如此的复杂,唉看来日后的日子里将……唉不说原因大家应该懂)
作者: xiaog    时间: 2011-6-8 14:00

这道题没难度吧,只要知道底乘以高=底乘以高就行了
作者: KYOKO    时间: 2011-6-9 13:13

如果A+B+C=360°,怎么求sinA+sinB+sinC的极值?
作者: 周瑜    时间: 2011-6-10 08:52



QUOTE:
原帖由 KYOKO 于 2011-6-8 22:13 发表
如果A+B+C=360°,怎么求sinA+sinB+sinC的极值?

三个120,仍然是(3/2)*sqrt(3)

证明也很简单,不能有大于180的,否则...,也不能有小于90的,否则...,于是ABC必然相等,否则...
作者: lk秩序    时间: 2011-7-10 21:51

看看看.....我晕了




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