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标题: 关于一个数学问题 [打印本页]

作者: 程凯 时间: 2008-6-1 12:01 标题: 关于一个数学问题

大家对导数和微分的概念都比较熟悉，就位移、时间、速度、加速度来说下列关系是不言而喻的：
s(t)=∫v(t)dt
v=ds/dt=s'(t)=∫a(t)dt
a=dv/dt=v'(t)
很容易理解，位置的均匀变化的运动即匀速运动，s=vt，速度均匀变化的运动是匀加速运动，v=at,s=(1/2)at^2。虽然在数学上它们是这样的关系，不过好在我们在想象中还能利用物体的运动状态理解这种微分和导数的关系。
大家再看看这个情况吧，众所周知圆的面积和周长为：
S=πr^2 c=2πr
如果把半径r看做自变量，以面积S对r求导即：S'(r)=dS/dr=2πr !这就意味着面积S对r的导数是周长!
再看看匀加速直线运动和圆面积对r的变化：
S(r)=πr^2          S'(r)=2πr    S''(r)=2π
s(t)=(1/2)at^2    s'(t)=at       s''(t)=a
如果位移s对时间t的导数是速度v，速度v对时间t的导数是加速度a我们还能理解，那面积S对半径r的导数是周长c是怎么回事呢，物理现象好在我们有实际的现象来理解数学方程，可这个数学问题完全没有物理概念，我们应该怎么理解呢。圆的面积和匀加速直线运动有没有什么联系，实在是不好理解啊

[ 本帖最后由程凯于 2008-6-1 12:11 编辑 ]

作者: yangguo 时间: 2008-6-1 12:26

把圆微分为一个个同心圆环，圆环环径为dr，环周长为2πr，r为自变量，则圆环面积dS=2πrdr,即S'(r)=dS/dr=2πr.

作者: 程凯 时间: 2008-6-1 12:37

嗯，这个概念还比较容易理解，只是圆的面积和匀加速直线运动有没有什么联系，这个和匀加速运动的情况如何对比。在数学上的关系是如此地相似，可是这2种现象之间的联系又是什么，半径的均匀变化导致的周长的匀速变化、面积的匀加速变化与t（在低速情况下）的均匀变化导致加速度一定，速度均匀变化，位移匀加速变化......这2个现象的联系在概念上有些模糊......

作者: l16s38j31 时间: 2008-6-1 12:51

感觉LZ像是在追问自然现象之间的普遍联系，很高深的哲学命题。个人以为非要刨根问底的追寻意义不大，因为存在类似关系的太多了。如果一定要解释的话可以说是数学揭示了自然现象之间的普遍联系。

作者: 程凯 时间: 2008-6-1 12:56

原来如此，刚刚同时发现了球的体积和表面积之间也存在类似的关系
V=（4/3）πr^3
S=4πr^2
也存在dV/dr=S，看来LS说的普遍联系确实是这样

作者: 天宫公主 时间: 2008-6-1 15:39

虽然微积分来源于牛顿力学，但非要把微分理解成速度啊，加速度啊什么的，恐怕就有些狭隘了。

其实微分的直观理解就是变换率，牛顿版本的变换率是绝对的，莱布尼茨的变换率是相对的。柯西通过严格划了“极限”的逻辑意义，也把“变换率”这个概念也一起严格划了：因为按牛顿的思路，变换率本身就是一个极限。牛顿的微积分比莱布尼茨早，但莱布尼茨的理论比牛顿更加完善。

按莱布尼茨的说法，dy/dx 就是当 x 和 y 同步增加无穷小，他们之间的比例是多少？牛顿的说法：导数 f'(t)，默认了莱布尼茨里的 x 一定是时间变量，而来布尼茨写的 x 可以是任何抽象变量，这里也当然包括了圆形或者球体的半径。

另，在微分几何中，对 N 维体积求导，得出结果是 N-1 维体积是很正常的事情。对这个有兴趣的话，可以看看关于外微分 (exterior derivatives) 和德拉姆上同调论 (de Rham cohomology) 方面的东西。

[ 本帖最后由天宫公主于 2008-6-1 15:44 编辑 ]

作者: 一叶寒 时间: 2008-6-4 00:27

圆或球的问题非常好理解啊。
对于一个N维的“球”体，求他所含的N维容量单位（面积、体积、...）时，你是可以用他的N-1维的容量单位(长,面积,体积...)在余下的一个维（“高”）上进行累加积分得到的，如果对N维的容量公式对某一维的高求导，自然得出的就是除下的N-1维的容量单位了。

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