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标题: 有趣的小题目——尺规作图画三角形 [打印本页]

作者: 武骧金星    时间: 2007-12-30 12:00     标题: 有趣的小题目——尺规作图画三角形

任何一个三角形都有三条边~那么可以依据这三条边做出三个正方形~然后正方形有中心~所以可以得到三个中心~

题目1:任意画一个三角形,然后用尺规作图画出三个正方形的中心(白痴题~)
题目2:把原来的三角形和画出来的正方形擦掉,只留下三个正方形的中心(就是纸上现在只有三个点了……)请用尺规作图把原来的三角形画出来~

……反正我不但做不出来,连解答都看不太懂就是了……
作者: gsyzj    时间: 2007-12-30 14:05

这个答案是否唯一,还不知道,感觉很难
作者: 夜雨落枫    时间: 2007-12-30 17:07

第一道,作三边中垂线再截取和每边一半相等的长,交点就是中心
问个问题:是向外作正方形还是向内作正方形?
作者: 武骧金星    时间: 2007-12-31 00:18

恩~是向外作正方形~这个我没说清楚~
作者: 青木风亮    时间: 2008-1-1 02:16

初步想法 用解几研究一下关键点位置关系看看...try

令原三角形三点坐标为(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)

令三正方形中心分别为A(xa,ya)、B(xb,yb)、C(xc,yc)

则xa=1/2(x2+y2+x1-y1)
   ya=1/2(x1+y1+y2-x2)
通过置换 类似地
   xb=1/2(x1+y1+x3-y3)
   yb=1/2(x3+y3+y1-x1)

   xc=1/2(x3+y3+x2-y2)
   yc=1/2(x2+y2+y3-x3)
解得
   x2=xb+yb+xa-ya
   y2=xa+ya+yb-xb
   ...

类似地 解出所有位置关系 取平面上任意点作直角坐标系 则三中心到坐标轴距离可截取 用尺规划弧法截取定距离求出三顶点 然后连成三角形

ms有点无耻

[ 本帖最后由 青木风亮 于 2008-1-1 03:15 编辑 ]
作者: 武骧金星    时间: 2008-1-1 13:23

……我其实这么做过~但是~好像是算出来也没意义的~
作者: 青木风亮    时间: 2008-1-1 13:57

不要好像

为什么没意义?
作者: Z_Artemis    时间: 2008-1-1 16:56



QUOTE:
原帖由 青木风亮 于 2008-1-1 02:16 发表
初步想法 用解几研究一下关键点位置关系看看...try

令原三角形三点坐标为(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)

令三正方形中心分别为A(xa,ya)、B(xb,yb)、C(xc,yc)

则xa=1/2(x2+y2+x1-y1)
   ya=1/ ...

诶~~~解析几何是无敌的。。
作者: 武骧金星    时间: 2008-1-2 07:34

是这样的~算出来和用尺规画出来还是有一定距离的……

其实更重要的是我算不出来~

另外,xa=1/2(x2+y2+x1-y1)是什么意思?
作者: 青木风亮    时间: 2008-1-2 18:53

你没懂我的意思啊 尺规作图不就是用圆规取点和距离吗 能过点作一条直线垂线不就可以取距离吗 然后在直线上用圆规画弧作代数运算好了

QUOTE:
xa=1/2(x2+y2+x1-y1)

就是中心a的横坐标由1,2两个顶点的坐标决定 再反过来就可以推算出用中心的坐标求出三角形顶点的坐标 就是一种映射关系 也许可以用矩阵之类的东西表达 不过我没学过

我承认这个方法是取巧 把代数映射关系转化成欧氏几何的方法 我没想到 研究一下平几定理好了 要不你直接贴答案大家参详 或者等待高人解答...
作者: 青木风亮    时间: 2008-1-7 17:43

不好意思 算错了 由中心推顶点 a、b、c为中心 xa,ya...为已知量

x1=yb-yc+xa
y1=xc-xb+ya
...(按b->a c->b a->c置换)
x2=ya-yb+xc
y2=xb-xa+yc

x3=yc-ya+xb
y3=xa-xc+yb

等下用flash验证
作者: 青石    时间: 2008-1-8 22:40

设原三角形为ABC

以AB为边作的正方形中心为P

以BC为边作的正方形中心为Q

以CA为边作的正方形中心为R

可以证明:
AQ与PR垂直且相等

BR与PQ垂直且相等

CP与QR垂直且相等

所以,如果已知三角形PQR,尺规作出三角形ABC的方法如下:
过Q作直线垂直于PR,然后在靠近PR的一边取点A使得AQ=PR
这样就得到所要的A点
B、C类似作出




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