一道几何不等式,求解 - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


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#1

发表于 2011-5-24 15:37 资料文集短消息只看该作者

一道几何不等式,求解

a,b,c为三角形三边,Ha,Hb,Hc为对应三条高线,证
1/Ha+1/Hb+1/Hc>=(2/sqrt(3))*(1/a+1/b+1/c)
(sqrt为开平方根)

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#2

发表于 2011-5-24 19:03 资料个人空间短消息只看该作者

看都看晕了~

再看看......还是看不懂

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	wctwct (小伯言)


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#3

发表于 2011-5-25 12:37 资料文集短消息只看该作者

呃,没人会这个吗………………

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#4

发表于 2011-5-25 14:49 资料个人空间短消息只看该作者

百度大神

S=(1/2)absinC=(1/2)bcsinA=(1/2)acsinB；(1)
S=(1/2)a*Ha=(1/2)b*Hb=(1/2)c*Hc；（2）
由此两边同乘以2S，由（2）,即证
a+b+c>=(2/sqrt(3))*(Ha+Hb+Hc)
由（1），（2）可得Ha=bsinC Hb=csinA Hc=asinB
即证a+b+c>=(2/sqrt(3))*(bsinC+csinA+asinB)

sinA+sinB+sinC<=(3/2)*sqrt(3) （琴生不等式可证）。。。。（3）
由正弦定理，原式可转化为：
sinA+sinB+sinC>=(2/sqrt(3))*(sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB),两边同乘(3/2)*sqrt(3)，得
(3/2)*sqrt(3)*（sinA+sinB+sinC）>=3*(sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB）
由（3），左>=(sinA+sinB+sinC)^2
=（sinA）^2+(sinB)^2+(sinC)^2+2(sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB)
若要>=3*(sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB）成立，即要
（sinA）^2+(sinB)^2+(sinC)^2>=sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB，即可，此式显然成立
当且仅当A=B=C=60°取等

得证

若需要部分语句的解释，可追问

================================
最好谁能解释下sinA+sinB+sinC<=(3/2)*sqrt(3):hz1027:

[ 本帖最后由司徒苍月于 2011-5-25 15:28 编辑 ]

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	KYOKO (★御姐控★)


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#5

发表于 2011-5-25 14:51 资料个人空间短消息只看该作者

汗，怎么这么倒霉

B+)这个符号正好是论坛戴眼镜的那位，有点别扭

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#6

发表于 2011-5-25 14:54 资料短消息只看该作者

回复 #4 KYOKO 的帖子

现在懒的动脑子了，看这题就想用拉格朗日乘数硬算。

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#7

发表于 2011-5-25 15:12 资料短消息只看该作者

好强大的百度大神，好强大的琴生不等式！佩服！佩服！
想了好久，对于2/sqrt(3)是无能为力，现在了解了！

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	wctwct (小伯言)


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#8

发表于 2011-5-27 18:19 资料文集短消息只看该作者

回复 #4 KYOKO 的帖子

sinA+sinB+sinC<=(3/2)*sqrt(3)这个我倒知道，正弦函数是凹函数，琴生无压力

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#9

发表于 2011-5-27 18:40 资料个人空间短消息只看该作者

俺才读小学，几何题不会（哇，以前只知道几何是一种图形的计算方程，不想竟如此的复杂，唉看来日后的日子里将……唉不说原因大家应该懂）

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#10

发表于 2011-6-8 14:00 资料短消息只看该作者

这道题没难度吧，只要知道底乘以高=底乘以高就行了

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#11

发表于 2011-6-9 13:13 资料个人空间短消息只看该作者

如果A+B+C=360°，怎么求sinA+sinB+sinC的极值？

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#12

发表于 2011-6-10 08:52 资料主页文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 KYOKO 于 2011-6-8 22:13 发表
如果A+B+C=360°，怎么求sinA+sinB+sinC的极值？

三个120，仍然是(3/2)*sqrt(3)

证明也很简单，不能有大于180的，否则...，也不能有小于90的，否则...，于是ABC必然相等，否则...

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#13

发表于 2011-7-10 21:51 资料短消息只看该作者

看看看.....我晕了

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